Deze les richt zich op de dynamiek van de aarde en de ontwikkeling van geodetische modellen. Studenten verkennen hoe bewegingen in de aardkorst en fluctuaties in het zwaartekrachtveld worden gemodelleerd. Het doel is inzicht te geven in de onderliggende fysische principes en hun mathematische representaties.
In de geodesie beschouwen we de aarde niet als een statisch, onveranderlijk object. Integendeel, onze planeet is een dynamisch systeem dat onderhevig is aan een complex samenspel van krachten en bewegingen over uiteenlopende tijd- en ruimteschalen. Het nauwkeurig meten en modelleren van deze dynamiek is een kerntaak van de geodesie. Deze bewegingen variëren van de dagelijkse rotatie en de langzame drift van continenten tot subtiele vervormingen door getijden en atmosferische druk. Het begrijpen van deze processen is essentieel voor het definiëren van stabiele referentiekaders, het monitoren van klimaatverandering en het inschatten van natuurlijke risico's zoals aardbevingen.
We kunnen de bewegingen van de aarde grofweg indelen in twee categorieën: de beweging van de aarde als geheel in de ruimte (oriëntatie) en de deformaties van de aarde zelf (oppervlakte- en inwendige processen). Deze sectie behandelt de belangrijkste componenten van deze dynamiek.
De meest fundamentele beweging is de rotatie van de aarde om haar as, die de cyclus van dag en nacht veroorzaakt. Een siderische dag (de tijd die nodig is voor een volledige rotatie ten opzichte van de vaste sterren) duurt ongeveer 23 uur, 56 minuten en 4 seconden. Deze rotatie is echter niet perfect constant. De rotatiesnelheid, en daarmee de lengte van de dag (Length of Day - LOD), varieert met enkele milliseconden.
Deze variaties worden veroorzaakt door een complex samenspel van factoren:
Vanwege deze variabiliteit zijn er verschillende tijdsschalen in gebruik. Universal Time (UT1) is een tijdschaal gebaseerd op de daadwerkelijke rotatie van de aarde. Coordinated Universal Time (UTC) is de officiële wereldtijd, gebaseerd op uiterst precieze atoomklokken. Omdat UT1 langzaam afwijkt van UTC, wordt er periodiek een schrikkelseconde aan UTC toegevoegd om te zorgen dat de twee tijdschalen binnen 0.9 seconden van elkaar blijven. Dit is cruciaal voor toepassingen die afhankelijk zijn van zowel precieze tijd als de oriëntatie van de aarde, zoals astronomie en satellietnavigatie.
De rotatie-as van de aarde is niet vast ten opzichte van de aardkorst. De positie van de rotatiepool aan het aardoppervlak varieert over een gebied van enkele meters. Dit fenomeen wordt poolbeweging genoemd. Het wordt gemonitord door de International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS).
De poolbeweging heeft twee hoofdcomponenten:
De combinatie van deze twee effecten resulteert in een complex, spiraalvormig pad van de pool. Accurate modellering van poolbeweging is essentieel voor de transformatie tussen aardse en hemelse coördinatensystemen.
Op nog langere tijdschalen beschrijft de rotatie-as van de aarde een trage, kegelvormige beweging ten opzichte van de sterren. Dit wordt precessie genoemd. Het wordt veroorzaakt door de gravitatiekrachten van de Zon en de Maan die een koppel uitoefenen op de equatoriale uitstulping van de aarde. De volledige cyclus van precessie duurt ongeveer 25.772 jaar. Een bekend gevolg hiervan is dat de positie van de poolsterren verandert. Momenteel wijst de aardas naar Polaris, maar over 13.000 jaar zal dit Vega zijn.
Gesuperponeerd op deze langzame precessiebeweging zijn kleinere, snellere oscillaties die nutatie worden genoemd. Deze worden ook veroorzaakt door de zwaartekracht van de Zon en de Maan, maar zijn het gevolg van de complexiteit van hun banen (bijvoorbeeld de inclinatie van de maanbaan). De dominante nutatieperiode is 18,6 jaar, gerelateerd aan de precessie van de knopenlijn van de maanbaan. Er zijn echter honderden nutatietermen met verschillende periodes en amplitudes die gemodelleerd moeten worden voor de hoogste precisie.
Naast de beweging van de aarde als geheel, is de aardkorst zelf in beweging. De theorie van de plaattektoniek stelt dat de buitenste schil van de aarde, de lithosfeer, is opgedeeld in een aantal rigide platen die bewegen over de viskeuze asthenosfeer eronder. Deze bewegingen, met snelheden van enkele centimeters per jaar (vergelijkbaar met de groeisnelheid van vingernagels), worden aangedreven door convectiestromen in de aardmantel.
Geodetische technieken vormen de primaire methode om deze bewegingen direct te meten en de theorie te valideren. Technieken zoals Global Navigation Satellite Systems (GNSS), Very Long Baseline Interferometry (VLBI), Satellite Laser Ranging (SLR) en Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite (DORIS) kunnen de posities van meetpunten op het aardoppervlak met millimeterprecisie bepalen. Door deze metingen over jaren te herhalen, kunnen de snelheidsvectoren van de platen worden vastgesteld. Deze metingen bevestigen niet alleen de algemene plaatbewegingen, maar onthullen ook complexe deformatiepatronen bij de plaatgrenzen:
Geodetische metingen zijn cruciaal voor het kwantificeren van de spanningsopbouw langs breuklijnen, wat bijdraagt aan de risico-inschatting van aardbevingen.
Een andere belangrijke deformatie van de aardkorst is het gevolg van de laatste ijstijd. Tijdens het Laatste Glaciale Maximum (ongeveer 20.000 jaar geleden) waren grote delen van Noord-Amerika en Eurazië bedekt met ijskappen van kilometers dik. Het enorme gewicht van dit ijs drukte de onderliggende lithosfeer in de viskeuze mantel. Na het smelten van het ijs is de lithosfeer begonnen met een langzaam proces van 'terugveren', wat bekend staat als post-glaciale opheffing of Glaciale Isostatische Aanpassing (GIA).
Dit proces is vandaag de dag nog steeds gaande. Gebieden die onder het ijs lagen, zoals Scandinavië en de Hudsonbaai in Canada, ervaren een opheffing van wel een centimeter per jaar. Gebieden aan de rand van de voormalige ijskappen, zoals Nederland, ervaren juist een daling. GIA heeft verstrekkende gevolgen: het beïnvloedt de zeespiegel (zowel lokaal als mondiaal), het zwaartekrachtveld van de aarde, en de vorm van de aarde. Het is een cruciaal signaal dat gecorrigeerd moet worden in geodetische metingen om andere processen, zoals de huidige zeespiegelstijging door klimaatverandering, correct te kunnen interpreteren.
Een GNSS-station in Reykjavik, IJsland, bevindt zich op de Noord-Amerikaanse plaat, dicht bij de Mid-Atlantische Rug. Een ander station in Oslo, Noorwegen, bevindt zich op de Euraziatische plaat. Geodetische metingen tonen aan dat Reykjavik met ongeveer 2,5 cm/jaar naar het westen beweegt ten opzichte van Oslo. Hoeveel verder zijn de twee steden van elkaar verwijderd na 20 jaar?
Berekening:
Afstandsverandering = Snelheid × Tijd
Afstandsverandering = 2,5 cm/jaar × 20 jaar = 50 cm.
Na 20 jaar is de afstand tussen de twee steden met een halve meter toegenomen, puur door plaattektoniek. Dit illustreert de dynamiek die continu gemeten en gemodelleerd moet worden in geodetische referentiekaders.
De Amerikaanse astronoom Seth Carlo Chandler ontdekte de naar hem vernoemde 'wobble' in 1891. Hij vond de periodieke beweging van de aardas door het analyseren van sterobservaties. Zijn ontdekking was verrassend, omdat theoretische voorspellingen van Leonhard Euler een periode van ongeveer 10 maanden voorspelden voor een rigide aarde. Het verschil met de waargenomen 14 maanden wordt nu verklaard door de elasticiteit van de aarde en de aanwezigheid van oceanen.
De aarde is een dynamisch systeem met bewegingen op verschillende schalen. De rotatie van de aarde varieert in snelheid (LOD) en de rotatie-as beweegt ten opzichte van de korst (poolbeweging: Chandler en jaarlijkse wobble) en de ruimte (precessie en nutatie). Het aardoppervlak zelf deformeert door plaattektoniek en post-glaciale opheffing (GIA). Moderne geodetische technieken stellen ons in staat om al deze bewegingen met hoge precisie te meten en te modelleren.
In het dagelijks leven gebruiken we de termen zwaartekracht en gravitatie door elkaar, maar in de geodesie is er een belangrijk onderscheid. Gravitatie is de fundamentele aantrekkingskracht tussen massa's, zoals beschreven door de wet van Newton. De gravitatiekracht van de aarde op een object aan het oppervlak is gericht naar het massacentrum van de aarde (in eerste benadering).
Zwaartekracht (of de schijnbare zwaartekracht) is de netto kracht die we ervaren aan het aardoppervlak. Het is de vectorsom van de gravitatiekracht en de centrifugale kracht die ontstaat door de rotatie van de aarde. De centrifugale kracht is naar buiten gericht, loodrecht op de rotatie-as. Omdat de aarde roteert, is de zwaartekracht die we meten dus iets kleiner dan de pure gravitatiekracht (behalve op de polen, waar de centrifugale kracht nul is) en is de richting iets afgebogen van het massacentrum van de aarde. Het zwaartekrachtveld is de ruimtelijke verdeling van de zwaartekrachtvector.
Het zwaartekrachtveld van de aarde is niet uniform. Het varieert van plaats tot plaats, voornamelijk door de ongelijke verdeling van massa in de aarde (bergen, oceaantroggen, verschillen in dichtheid in de mantel) en het effect van de aardrotatie. Om dit complexe veld te beschrijven, introduceert de geodesie het concept van de geoïde.
De geoïde is gedefinieerd als de equipotentiaaloppervlak van het zwaartekrachtveld van de aarde dat het beste aansluit bij het gemiddelde zeeniveau (Mean Sea Level - MSL) over de hele wereld. Een equipotentiaaloppervlak is een oppervlak waarop de zwaartekrachtpotentiaal overal constant is. Dit heeft een belangrijke fysische betekenis:
In tegenstelling tot een wiskundige ellipsoïde, die glad en geometrisch gedefinieerd is, is de geoïde een onregelmatig, golvend oppervlak. De afwijkingen van de geoïde ten opzichte van een referentie-ellipsoïde, de geoïde-undulaties (N), kunnen oplopen tot ±100 meter. Een positieve undulatie (bv. bij IJsland) betekent dat de geoïde boven de ellipsoïde ligt, wat duidt op een massa-overschot. Een negatieve undulatie (bv. ten zuiden van India) duidt op een massatekort.
De geoïde is het referentievlak voor orthometrische hoogtes (H), de hoogtes die we in het dagelijks leven gebruiken (hoogte boven zeeniveau). GNSS-systemen meten echter hoogtes ten opzichte van de ellipsoïde (ellipsoïdische hoogtes, h). De cruciale relatie is: H = h - N. Een nauwkeurig model van de geoïde (N) is dus essentieel om bruikbare hoogtes te verkrijgen uit GNSS-metingen.
Het zwaartekrachtveld kan op verschillende manieren worden gemeten:
Een zwaartekrachtanomalie is het verschil tussen de gemeten zwaartekracht op een punt en de theoretische zwaartekracht op hetzelfde punt, berekend op een referentie-ellipsoïde. Deze anomalieën onthullen variaties in de dichtheid van de ondergrond.
Dankzij missies als GRACE weten we dat het zwaartekrachtveld van de aarde niet statisch is, maar voortdurend verandert. Deze temporele variaties worden veroorzaakt door de herverdeling van massa op en in de aarde. Het meten van deze veranderingen biedt een uniek inzicht in grootschalige processen van het systeem Aarde:
Een landmeter meet met een GNSS-ontvanger de positie van een nieuw kadastraal punt. De ontvanger geeft een ellipsoïdische hoogte (h) van 45,30 meter. De landmeter gebruikt een nationaal geoïdemodel (zoals de NLGEO2018 in Nederland) om de geoïde-undulatie (N) op die locatie op te zoeken, die +1,50 meter bedraagt.
Berekening van de orthometrische hoogte (H):
H = h - N
H = 45,30 m - 1,50 m = 43,80 m.
De officiële hoogte van het punt, de hoogte boven het referentievlak (Normaal Amsterdams Peil), is 43,80 meter. Zonder een nauwkeurig geoïdemodel zou de GNSS-hoogtemeting niet direct bruikbaar zijn voor de meeste civieltechnische toepassingen.
Het Eötvös-effect, vernoemd naar de Hongaarse natuurkundige Loránd Eötvös, beschrijft de verandering in de gemeten zwaartekracht wanneer een object oostwaarts of westwaarts beweegt. Een object dat naar het oosten beweegt (in de richting van de aardrotatie) ervaart een grotere centrifugale kracht, waardoor de gemeten zwaartekracht afneemt. Een object dat naar het westen beweegt ervaart juist een kleinere centrifugale kracht. Dit effect is significant voor gravimetrie op bewegende platforms zoals schepen en vliegtuigen en moet zorgvuldig worden gecorrigeerd.
De zwaartekracht is de som van gravitatie en de centrifugale kracht. De geoïde is de equipotentiaaloppervlakte die de ware vorm van de aarde beschrijft en dient als referentie voor hoogtes. De vorm van de geoïde en de zwaartekrachtanomalieën worden bepaald door de massaverdeling en gemeten met terrestrische en satelliettechnieken (zoals GRACE). Het zwaartekrachtveld is dynamisch en de temporele variaties onthullen belangrijke informatie over processen zoals ijsmassaverlies en grondwaterveranderingen.
De processen die in de voorgaande secties zijn beschreven, zijn uiterst complex en worden waargenomen door een veelheid aan diverse meettechnieken. Om deze complexiteit te beheersen en de metingen te kunnen interpreteren en combineren, maakt de geodesie intensief gebruik van wiskundige en fysische modellen. Een model is een vereenvoudigde, abstracte representatie van de werkelijkheid die is ontworpen om een specifiek doel te dienen. In de geodesie zijn die doelen onder andere:
Een fundamenteel aspect van geodetische modelbouw is het onderscheid tussen een systeem en een kader (frame).
De belangrijkste systemen en kaders in de geodesie zijn:
De Aardoriëntatieparameters (EOP's), zoals poolbeweging, UT1-UTC en precessie-nutatie, vormen de wiskundige brug die de transformatie tussen het ITRF en het ICRF mogelijk maakt. Ze beschrijven de rotatie van het aardse kader ten opzichte van het hemelse kader als functie van de tijd.
De geometrische vorm en het zwaartekrachtveld van de aarde worden gemodelleerd met toenemende complexiteit:
Voor precisie-geodesie moeten alle dynamische processen die de metingen beïnvloeden, worden gemodelleerd en gecorrigeerd. Dit omvat:
Geen enkel modern geodetisch model is gebaseerd op één enkele meettechniek. De kracht van de moderne geodesie ligt in de combinatie van verschillende technieken. Het ITRF is hier het beste voorbeeld van. De coördinaten en snelheden worden bepaald door een rigoureuze combinatie van data van de vier belangrijkste ruimtegeodetische technieken (GNSS, VLBI, SLR, DORIS).
De wiskundige methode die hiervoor wordt gebruikt is de kleinste-kwadratenvereffening. Dit is een statistische procedure die de 'best passende' modelparameters vindt door de som van de gewogen kwadratische verschillen tussen de waarnemingen en de modelvoorspellingen te minimaliseren. Het gewicht van elke waarneming is gerelateerd aan de (on)nauwkeurigheid ervan. Dit stelt ons in staat om zeer nauwkeurige metingen met minder nauwkeurige te combineren tot één consistent resultaat.
Modellen worden voortdurend gevalideerd door ze te vergelijken met onafhankelijke data en door de residuen (de overgebleven verschillen na het fitten van het model) te analyseren. Systematische patronen in de residuen kunnen wijzen op tekortkomingen in het model en leiden tot verbeteringen in ons begrip van de onderliggende fysica. Geodesie is dus een iteratief proces van meten, modelleren, valideren en verfijnen.
De officiële ITRF2014-coördinaten voor het GNSS-station in Delft (DELF) op het referentietijdstip 2010.0 zijn:
We willen de coördinaten berekenen voor het begin van 2025 (tijdstip 2025.0).
Berekening:
Tijdsverschil (Δt) = 2025.0 - 2010.0 = 15 jaar.
Positie(t) = Positie(t0) + Snelheid × Δt
Nieuwe X = 3823724.845 m + (-0.0087 m/jaar) × 15 jaar = 3823724.715 m
Nieuwe Y = 288411.725 m + (0.0165 m/jaar) × 15 jaar = 288411.973 m
Nieuwe Z = 5085458.106 m + (0.0098 m/jaar) × 15 jaar = 5085458.253 m
De positie van het station is in 15 jaar met enkele decimeters veranderd, voornamelijk door de beweging van de Euraziatische plaat. Dit toont de noodzaak van een dynamisch referentiekader aan.
De oorspronkelijke definitie van de meter, vastgesteld tijdens de Franse Revolutie in de jaren 1790, direct verbonden was met de geodesie. De meter werd gedefinieerd als één tienmiljoenste (1/10.000.000) van de afstand van de evenaar tot de Noordpool, gemeten langs de meridiaan die door Parijs loopt. Geodeten Delambre en Méchain hebben jarenlang een deel van deze meridiaan opgemeten om de lengte van de meter te bepalen. Hoewel de definitie nu gebaseerd is op de lichtsnelheid, is de erfenis van de geodesie in onze fundamentele meeteenheden onmiskenbaar.
Modellen zijn essentiële, vereenvoudigde representaties van de complexe Aarde. Een fundamenteel onderscheid wordt gemaakt tussen theoretische referentiesystemen (ITRS, ICRS) en hun praktische realisaties, de referentiekaders (ITRF, ICRF). De vorm en het zwaartekrachtveld van de aarde worden gemodelleerd met sferische harmonischen, terwijl dynamische processen zoals plaattektoniek en getijden ook in detail worden gemodelleerd. De combinatie van data van verschillende meettechnieken via kleinste-kwadratenvereffening leidt tot de meest robuuste en nauwkeurige geodetische producten.